2017年7月10日月曜日

(計算が)ヤバイ級数










は有名です(前者はバーゼル問題で後者は部分分数分解で計算できます)。それでは








はどうなるのでしょうか?? 収束するのは明らかです。計算してみましょう。
(厳密な議論が欠けている箇所が幾つかあるので注意してください)

級数をグッと睨むと、





と変形出来そうな気がします。ここでおもむろにwikipediaを参照すると




と書けるらしいので($B_k$はベルヌーイ数)、元の級数は





となります。ここでおもむろにwikipediaを参照すると、




という双曲線関数の謎テイラー展開(ローラン展開)が得られるので、収束半径を無視して$x=\pi$を代入して整理すると




従って





となります。
(ちなみに数値的にもこの値は合致します)


余談


ゼータ関数は



と書ける(らしい)ので、級数に代入して、総和と積分の交換が出来ると信じて更に収束半径諸々を無視して無理やり計算すると




となります(最後の等式は$\sin$のテイラー展開です)。

従って、(多分)




が成り立ちます(多分)

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